撲克組合數學謎題

今天我們為您準備了一個特別的謎題，這個謎題將測試您作為撲克玩家的直覺，並挑戰您對組合數學（combinatorics）的理解。

六名玩家在翻牌前以範圍（QQ+, AK）全下（all-in）。

問題：

1. QQ能否贏得底池？如果可以，如何贏得？

2. KK能否贏得底池？如果可以，如何贏得？

3. 在這個場景中，您寧願持有QQ、KK還是AKo？

4. 一位觀眾下了一個旁注（side bet）。如果翻牌後的牌面上出現任何A、K或Q，他們就贏得旁注。他們贏得旁注的機率是多少？

請注意，您不需要使用權益計算器（equity calculator）或任何特殊軟件來回答這些問題。

答案：

正確答案

回答這些問題的關鍵在於思考：六名不同玩家如何能同時持有範圍（QQ+, AK）。考慮到卡牌移除（card removal）的影響，可能的情況非常有限。

整副牌中只有12張牌是Q、K或A。六名玩家每人持有兩張牌，將用盡牌庫中的所有Q、K和A。

現在讓我們來探討六名玩家持有這些範圍的可能性有多少種。總共只有三種可能的情況：

1. QQ能否贏得底池？如果可以，如何贏得？

可以，但僅限於QQ組成同花順（straight flush）的情況！在所有場景中，必然有兩名玩家持有QQ。所有的A和K都在遊戲中，因此用普通同花（flush）贏是不可能的。所有的Q也在遊戲中，因此無法超越更大的對子（outdraw better pairs）。

2. KK能否贏得底池？如果可以，如何贏得？

不，KK無法贏得底池。KK總是試圖超越AA。要做到這一點，KK必須組成順子（straight）、同花（flush）或使用第三張K。所有的K都在遊戲中，因此無法使用第三張K。所有的Q也在遊戲中，因此順子不可能。所有的A也在遊戲中，因此無法用同花獲勝。因此，KK無法贏得底池。

3. 在這個場景中，您寧願持有QQ、KK還是AKo？

QQ的權益（equity）明顯高於其他手牌。贏得底池不是唯一的方式，您還可以通過平分底池（chop）獲利。三分之一的時間，QQ會遇到第一種場景，即對抗另一個QQ和四名持有AK的玩家。這對QQ非常有利，因為AK之間會互相阻礙彼此的成牌機會（outs）。

KK唯一平分底池的機會是六名玩家通過牌面上的順子共同平分底池。

AK總是對抗一個或三個其他AK。它可以通過A的同花獲勝，也可以通過輪形順子（wheel straight）平分底池。然而，這些事件的發生概率遠低於QQ三分之一的機會遇到第一種場景。

如果我們進行簡單的權益計算（equity calculation），我們會發現QQ的權益明顯高於KK或AKo。然而，這主要來自於QQ在超過20%的情況下與另一個QQ平分底池。

4. 一位觀眾下了一個旁注（side bet）。如果翻牌後的牌面上出現任何A、K或Q，他們就贏得旁注。他們贏得旁注的機率是多少？

機率為零，因為所有的A、K和Q都必須被六名玩家持有。