多街詐唬的數學

Tombos21
7月17日
讀畢需時 7 分鐘

詐唬（bluffing）是撲克中的一項基本技能，結合了欺騙與策略計算來影響手牌結果。雖然許多資源深入探討了詐唬的基礎知識，但很少有資源探索三連發詐唬（triple-barrel bluffing）的理論。

在本文中，我們將探討撲克中多街詐唬（multi-street bluffing）的數學原理。具體來說，如何計算跨多街詐唬的期望值（EV）。

加入我們，調查揭示將詐唬從直覺賭博提升為計算策略的數學基礎。

基礎：單街詐唬

單街詐唬（single-street bluff）的基本理論很簡單：

計算最低防守頻率（Minimum Defense Frequency, MDF）
為了讓您的詐唬有利可圖，您的對手需要棄牌（fold）的頻率高於 (1 – MDF)

純詐唬（pure bluff）的期望值也很容易計算：

EV (Bluff) = Fold%(Pot) – Defend%(Bet)

如果您的期望值（EV） > 0，那麼您有一個有利可圖的純詐唬。簡單！

但問題在於：

如果您的詐唬在（河牌前）被跟注（called），您不需要放棄。您可以選擇在後續街繼續詐唬。

這如何改變數學計算？

測驗

讓我們用一個簡單的玩具遊戲（toy game）來測試您的直覺理解：

您在翻牌（flop）持有一手純詐唬，考慮進行三連發詐唬（底池大小下注，pot-sized bets）。反派（villain）總是跟注翻牌和轉牌（flop and turn）。他們在河牌（river）需要多頻繁棄牌，您的三連發詐唬才能收支平衡（break even）？

A. 棄牌50%

B. 棄牌61%

C. 棄牌72%

D. 棄牌83%

揭示答案

C) 棄牌72%

許多玩家可能會猜測選項（a），認為我們只需要對手在河牌棄牌至少50%（= 1 – 最低防守頻率，MDF）的時間，就能使底池大小的三街（純）詐唬（pot-sized 3-street pure bluff）達到收支平衡。然而，這並未考慮您在翻牌（flop）和轉牌（turn）詐唬時損失的資金。您不僅需要在河牌（river）上收支平衡，您需要河牌的詐唬如此有利可圖，以彌補您在到達河牌之前累積的所有損失。

解釋

為了讓三連發詐唬有正期望值（+EV），他們需要在河牌棄牌非常頻繁，以便您能彌補在翻牌和轉牌損失的下注。請記住，您不是試圖在獨立的河牌行動上收支平衡，您希望從翻牌到河牌的整條路線（line）至少收支平衡。

那麼，如何計算正確答案？追蹤貢獻（contributions）！

如果起始底池（starting pot）為1，您在（翻牌、轉牌、河牌）下注 (1, 3, 9)。如果您的三連發被跟到底（called down），您最終將損失 (1+3+9) = 13個起始底池。如果成功，您將獲得 (1+1+3) = 5個起始底池。所以您冒險13來贏5。將賠率轉換為隱含概率：13:5 = 13 / (13 + 5) = 72.2%。

起始底池 = 1
獲得棄牌的收益 = 起始底池 + 反派的貢獻 = (1) + (1 + 3) = 5
被跟注的損失 = 英雄的貢獻 = 1 + 3 + 9 = 13
您冒險13來贏5
收支平衡河牌棄牌百分比（Breakeven River Fold%） = Risk / (Risk + Reward) = 13 / (13 + 5) = 72.2%

他們需要對我們的河牌下注棄牌72.2%的時間，僅為了讓底池大小的三連發詐唬收支平衡。如果少於這個比例，您最好在翻牌放棄。

一般來說，多街詐唬（multi-street bluffs）比單街詐唬（single-street bluffs）提供更差的風險-回報比（risk-reward ratio），因為您最終冒險的金額超過您可能獲得的收益。

但這是一個人為的例子！沒有人會在翻牌和轉牌100%跟注，然後在河牌棄牌3/4的時間。接下來讓我們嘗試一個更現實但也更複雜的例子。

多街詐唬的數學

現在，我們將逐步解釋多街詐唬的數學，以處理更現實的場景。

以下內容不適用於牌桌上的即時計算。我們建議檢查玩家群體傾向（population tendencies）並使用電子試算表計算器（spreadsheet calculator）來找到過度棄牌的路線（over-folded lines）。

為了簡化，我們做出三個假設：

您的詐唬在檢查（check）時總是輸。
您的詐唬在被跟到底（called down）時總是輸。
反派只會跟注（call）或棄牌（fold）。

基於這些假設，只有四種策略可選擇：

檢查（Check）：立即放棄，無損失。
下注 → 檢查（Bet → Check）：下注一次，打算在轉牌被跟注後放棄。
下注 → 下注 → 檢查（Bet → Bet → Check）：下注兩次，打算在河牌被跟注後放棄。
下注 → 下注 → 下注（Bet → Bet → Bet）：下注三次，無放棄打算。

我們將計算並比較每種策略的期望值（EV），選擇最有利可圖的策略。

策略 (1) 檢查

此策略的期望值僅為0，因為我們相對於這個決策點測量期望值。如果您立即放棄，您將在不進一步投資的情況下輸掉這手牌。

EV (Check) = 0

策略 (2) 下注 → 檢查

策略（2）——下注一次並打算在轉牌放棄——的期望值是標準的單街計算：

將每個事件的概率（p）和價值（v）相乘，然後加總以找到期望值：

EV (Bet → Check) = p₁v₁ + p₂v₂

明確寫出：

EV (Bet → Check) = Flop Fold% (Pot) + Flop Call% (-Flop Bet)

策略 (3) 下注 → 下注 → 檢查

策略（3）——下注兩次並打算在河牌放棄——的期望值稍複雜。有三種可能結果：

如果他們立即棄牌，您贏得底池。
如果他們跟注翻牌並在轉牌棄牌，您贏得底池加上他們的翻牌跟注。
如果他們跟注兩次，您損失翻牌和轉牌的下注。

EV (Bet → Bet → Check) = p₁v₁ + p₂v₂ + p₃v₃

明確寫出：

EV (Bet → Bet → Check) = (Flop Fold%) (Pot) + (Flop Call% Turn Fold%) (Pot + Flop Bet) + (Flop Call% Turn Call%) (-Flop Bet – Turn Bet)

策略 (4) 下注 → 下注 → 下注

最後，我們檢視三連發策略（triple-barrel strategy），包含四種可能結果：

EV (Bet → Bet → Bet) = p₁v₁ + p₂v₂ + p₃v₃ + p₄v₄

電子試算表計算器

正如您所見，這是一個冗長且繁瑣的計算。不難，只是單調。這正是電子試算表擅長的工作。這裡您可以訪問我的免費電子試算表計算器：多街詐唬計算器 - 公開版本。

該工具使用簡單；只需輸入各街的下注大小和棄牌百分比（fold%）。計算器將顯示每種策略的期望值（在上述假設下）。