納什均衡在ICM場景中的局限性

在撲克錦標賽的複雜世界中，獨立籌碼模型（Independent Chip Model, ICM）在決策中扮演了關鍵角色。然而，當深入探討博弈論（Game Theory）與ICM時，玩家可能會遇到違反直覺的結果，這些結果挑戰了傳統理解。本文旨在探討納什均衡（Nash Equilibrium）在ICM場景中的局限性。

在本文中，我們將展示：

• 不同的納什均衡如何具有不同的期望值（EV）

• 為什麼最低期望值不再有保證

• 博弈論最優（GTO）策略如何在對抗錯誤時損失期望值

• 為什麼增加行動可能降低期望值

目錄

• 非零和博弈中的納什均衡

• 期望值洩漏

• 博弈論最優策略如何在對抗錯誤時損失期望值

• 為什麼增加行動可能降低期望值

• 總結

非零和博弈中的納什均衡

在雙人零和博弈（two-player zero-sum game）中，所有玩家的收益總和在任何策略組合下均為零。這意味著一名玩家的收益完全由另一名玩家的損失平衡。如果您在零和博弈中採用博弈論最優（GTO，也稱為納什均衡策略，Nash Equilibrium strategy），您將獲得一些重要的保證：

✅ 最低期望值保證：通過採用GTO，您保證能實現至少一定數量的期望值（EV）。

✅ 對手的錯誤只會對您有利。

✅ 為您的策略增加行動（例如額外的下注大小）只會對您有利。

✅ 對手無法將您推向更差的納什均衡。

這些特性廣為人知，也是吸引大多數人最初採用GTO的原因。然而，這些保證僅適用於單挑（heads-up, HU）零和博弈！

錦標賽撲克看似零和。畢竟，獎金和籌碼的總額不變。然而，當籌碼在兩名玩家之間移動時，不僅僅是他們的貨幣期望值（$EV）受到影響。場上每位玩家的錦標賽權益（tournament equity）都會改變。

在錦標賽中，兩個玩家在底池中的收益總和不再為零。他們的部分貨幣期望值（$EV）可能會洩漏（leaked）給場上的其他玩家。

如果兩個活躍玩家的收益總和不為零，事情就變得複雜了！

🟥 最低期望值保證：通過採用GTO，您保證能實現至少一定數量的期望值（EV）。

🟥 對手的錯誤只會對您有利。

🟥 為您的策略增加行動（例如額外的下注大小）只會對您有利。

🟥 對手無法將您推向更差的納什均衡。

需要明確的是，納什均衡在非零和博弈（non-zero-sum games）中仍然有效且定義明確。您的對手無法在GTO策略下獲得期望值。但上述保證不再成立。

期望值洩漏

在錦標賽中贏得底池時，即使您獲得了籌碼，整個場上的錦標賽權益分佈也會改變。如果您淘汰一名玩家，每個剩餘玩家的排名都會上升，每個剩餘玩家預期贏得剩餘獎金的比例也會增加。您捕獲的部分價值（value）會“洩漏”給場上的其他玩家。這裡的“價值”指的是ICM模型預測的您的籌碼貨幣價值，也稱為錦標賽權益（tournament equity），我們將其縮寫為$EV。

然而，這可能是雙向的。$EV可以從場上其他玩家獲得，也可以洩漏給他們。當您使籌碼趨向平均（even out the stacks），例如雙方玩家更接近平均籌碼量（average stack），這往往會從場上其他玩家吸取$EV（leach $EV）。

範例一：衛星賽泡沫

最簡單的例子是衛星賽（satellite tournament）的泡沫階段，三名玩家剩餘，只有兩名玩家獲得獎金：

• 衛星賽：前2名獲得獎金

• 剩餘3名玩家

• 對稱10大盲（10bb）籌碼

• 無前注（ante）

您在按鈕位（BTN）棄牌，小盲（SB）全壓10大盲，大盲（BB）需要行動。請注意，無論結果如何，您都獲得$EV。如果其中一人淘汰另一人，您贏得一張入場券。即使大盲棄牌，您的錦標賽權益也從33.33%增加到33.46%。小盲和大盲正在向您“洩漏”$EV。在錦標賽中，即使您的籌碼量保持不變，您的$EV也可能改變！

這是$EV洩漏（leakage）最清晰的概念。在錦標賽中，您的籌碼貨幣價值（$EV）即使籌碼量不變也可能改變。

範例二：200人參賽的泡沫場景

接下來，讓我們檢視一個200人參賽的經典泡沫場景：

• 200美元買入；剩餘40,000美元獎金

• 對稱40大盲籌碼

• 30名玩家進入獎金圈；剩餘33名玩家

• 標準GTO Wizard獎金結構

當兩名玩家對抗時，他們會向場上其他玩家洩漏$EV。您從對手贏得的籌碼越多，您洩漏的$EV越多！在此場景中，由於籌碼對稱，每個人開始時的錦標賽權益（$EV）為1/33 = 1212.12美元。

當您從對手贏得籌碼時，您的籌碼價值增加，但場上其他玩家的籌碼價值也增加。如果您淘汰某人，加倍籌碼（doubling up），他們將損失1212美元的錦標賽權益，而您將獲得698美元的錦標賽權益。剩餘的514美元分佈給更接近獎金圈的場上其他玩家。

您從對手贏得的籌碼越多，您洩漏的$EV越多。

以下圖表比較了您在贏得對手籌碼時的錦標賽權益（$EV）利潤和洩漏：

為了更直觀地理解，我們可以將其視為百分比（%）。此圖表顯示了輸家的$EV如何在英雄（Hero）和場上其他玩家之間分佈：

在極端情況下，如果對手被淘汰，您將獲得其$EV的58%，剩餘42%的$EV平均分佈給場上其他31名玩家。

我們還對1000人參賽的泡沫場景進行了相同實驗，結果幾乎相同。

範例三：1000人參賽的泡沫場景

我們對1000人參賽的錦標賽進行了相同計算：

• 200美元買入；剩餘200,000美元獎金

• 對稱40大盲籌碼

• 150名玩家進入獎金圈；剩餘153名玩家

• 標準GTO Wizard獎金結構

令人驚訝（或許並不意外）的是，結果變化不大。無論是以美元還是百分比計算，洩漏量與200人參賽的情況幾乎相同。這個場景在剩餘場上玩家百分比方面技術上更接近泡沫，但風險溢價（risk premiums）幾乎相同。

吸取（Drainage）

到目前為止，我們僅專注於負和場景（negative-sum spots）。但同樣容易展示相反的效果，我稱之為“吸取”（Drainage）。英雄（Hero）和反派（Villain）不僅會向場上其他玩家洩漏$EV，還可以從其他玩家吸取$EV。這是一個正和場景（positive-sum spot）的例子。

讓我們使用與前述1000人參賽範例相同的設置，籌碼量如下：

• 英雄：20大盲

• 反派：60大盲

• 場上其他玩家：對稱40大盲

您與大籌碼玩家（big stack）全壓對抗（flip all-in）。

如果您加倍籌碼（double-up），籌碼趨向平均，您將獲得475美元的錦標賽權益。

大籌碼玩家（反派）損失400美元，場上其他150名玩家總共損失75美元（每人約0.50美元）。

這意味著您通過平均籌碼（evening out stacks）從場上其他玩家吸取了75美元。

本質上，場上其他玩家希望您被淘汰，因為這會讓他們更接近獎金圈。甚至在手牌開始前，您初始的20大盲短籌碼（short-stack）在統計上更容易較早被淘汰。通過贏得這次對抗，籌碼趨向平均，剩餘玩家進入獎金圈或獲得更高排名的可能性降低。通過平均籌碼，您不僅從贏得籌碼的玩家那裡，還從其他玩家的錦標賽權益中削減了價值。

因此，作為一條規則，當籌碼接近平均時，您從場上其他玩家吸取金錢（drainage）。當籌碼偏離平均時，您向場上其他玩家捐贈金錢（leakage）。請注意，這種現象沒有官方名稱，因此我不得不創造新術語來描述它。

當籌碼接近平均時，您從場上其他玩家吸取金錢。當籌碼偏離平均時，您向場上其他玩家捐贈金錢。

理解洩漏（leakage）的概念是解讀ICM求解器（solvers）結果的關鍵。關於$EV分佈，不僅僅是“英雄對反派”，而是“英雄對反派對場上其他玩家”。

物理學類比

或許另一種理解這種效應的方式是通過類比。在物理學中，封閉系統的總能量是守恆的，但個別反應可以向系統其他部分釋放能量（放熱，exothermic）或從系統其他部分吸收能量（吸熱，endothermic）。同樣，在撲克錦標賽中，獎金的總貨幣價值是守恆的。然而，底池中兩名玩家的$EV可以以某種方式轉移，重新分佈場上的價值：放熱行動向場上其他玩家洩漏（釋放）價值，而吸熱行動從場上其他玩家吸取（吸收）價值。

博弈論最優策略如何在對抗錯誤時損失期望值

在單挑（HU）籌碼期望值（Chip EV）場景中，納什均衡（GTO）策略不會因對手的錯誤而損失期望值（EV）。您的收益完全等於對手的損失，反之亦然。然而，ICM打破了這一原則。對抗不完美的對手，完美執行GTO仍可能損失$EV。這讓我想起了一句著名的電影台詞：

“有可能不犯任何錯誤卻仍然輸掉。這不是弱點；這是人生。”

– 尚盧·皮卡德（Jean Luc Picard）

問答：

博弈論最優策略可能在對抗錯誤時損失$EV。這怎麼可能？這是否使GTO無用？這是否意味著您應該在錦標賽中專注於剝削性玩法（exploitative play）？我們稍後將進行一些實驗，但首先，讓我們回答您的迫切問題：

這怎麼可能？

再次歸結於洩漏（leakage）。當您的對手對您的GTO策略犯錯時，他們可能無意中增加或減少洩漏給場上其他玩家的$EV量。您的對手無法在GTO策略下獲得期望值，但他們可以將您的一些$EV轉移給場上其他玩家，或反之亦然。

這是否使GTO無用？

不。沒有堅實的、不可剝削的基準（baseline），您如何識別剝削性機會（exploitative opportunities）？沒有基準，就不存在剝削性策略。此外，您不會總是（甚至通常）有足夠的關於對手策略的信息來自信地剝削他們。

您應該在錦標賽中專注於剝削性玩法嗎？

是的。ICM限制了固定GTO策略的效用。一般來說，傾向於低變異剝削（low-variance exploits）是安全的，例如對抗過度跟注者（stations）玩過於價值為重（value-heavy）。但傾向於高變異剝削（high-variance exploits），例如對抗過度謹慎者（nit）過度詐唬（over-bluffing），則極其危險。請記住，變異（variance）增加時，洩漏通常也會增加。

實驗

想像您在一場千人場的多桌錦標賽（MTT）決賽桌上。僅剩三名玩家，您是其中之一。籌碼分別為按鈕位（BTN）30大盲、小盲（SB）20大盲、大盲（BB）25大盲。獎金結構如下：

您在按鈕位開牌，小盲棄牌，大盲跟注，您在A♥9♠2♣ 6♠ K♠的牌面上進行三連發全壓（triple-barrel-shove）。

我們將從GTO對GTO的基準開始比較。以下是河牌全壓後的策略：

均衡河牌策略：大盲回應（左）對按鈕位全壓

如您所見，大盲應棄掉許多頂對（top pairs），甚至一些兩對（two pair）手牌。總體而言，他們應大約一半時間棄牌，您的詐唬才能收支平衡。現在讓我們看看固定（不變的）GTO策略對非GTO對手的表現。

GTO對錯誤：過度跟注者和過度謹慎者

• 過度跟注者（station）跟注任何頂對或更好的手牌（這是大量的跟注）。

• 過度謹慎者（nit）棄掉一些0期望值的詐唬攔截手牌（bluff catchers）。

讓我們看看固定（不變的）GTO策略對這兩種類型玩家的表現：

手牌中的玩家

按鈕位（採用固定GTO策略的玩家）對過度跟注者實際上損失了大量$EV（-$354），而對過度謹慎者僅獲得少量$EV（+$58）。請注意，大盲無論如何幾乎不損失$EV。他們的過度跟注策略因跟注一些不利阻斷牌（unfavorable blockers）的手牌而損失20美元，但這相對較小。洩漏幾乎完全集中在進攻者（aggressor）身上！

場上其他玩家

讓我們從已棄牌的小盲角度考慮這一點。如果按鈕位或大盲互相淘汰，小盲的$EV將顯著增加。因此，任何增加這種可能性的策略對都對小盲有利。過度跟注策略增加這種可能性，從而增加洩漏。過度謹慎策略減少這種可能性，從而減少洩漏。

剝削與反剝削

按鈕位不必採用固定GTO策略。如果他們知道大盲過度或不足防守（over- or under-defending），他們可以相應調整詐唬。讓我們測量對過度跟注者和過度謹慎者採用剝削性策略（exploitative strategy）的價值。此外，在進行任何剝削性分析時，始終測量反剝削性（counterexploitability）以評估剝削的風險與回報是良好的做法。

剝削過度跟注者

固定GTO策略對過度跟注者已經損失（-$354 GTO），因為過多的洩漏。因此我們應該剝削他們。剝削過度跟注者的最簡單方法是停止詐唬，僅為薄價值下注（+$378 exploit）。當然，他們可能通過過度棄牌反擊您（-$279 backfire）。

有趣的是，在這種情況下，即使在絕對最壞的情況下，這種價值為重的剝削（value-heavy exploit）仍然優於GTO對過度跟注者的策略。價值為重的全壓在最佳和最壞情況下分別獲得7323至7979美元，而GTO策略對過度跟注者僅獲得7247美元。

剝削過度謹慎者

固定GTO策略對過度謹慎者已經獲得（+$58），因為洩漏減少。但我們可以貪婪嗎？剝削過度謹慎者的最簡單方法是用無攤牌價值的牌詐唬（+$120 exploit）。然而，他們可能通過總是跟注反擊（-$1394 backfire，哎呀！）

這個剝削的問題在於它增加了變異（variance）和洩漏，迫使雙方玩家更頻繁地互相淘汰。風險/回報比很糟糕。試圖最大化剝削過度謹慎者，您冒險損失1452美元（如果他們反擊）以相對於GTO對過度謹慎者額外獲得62美元。您的判斷需要至少1452/(1452+62) = 95.9%的時間正確。如果您認為您的過度謹慎對手有5%的機會開始反擊您，這將是一個糟糕的剝削。

關鍵要點是：

在ICM壓力大的場景中，您應傾向於低變異剝削（low-variance exploits）。

始終注意洩漏，記住他們的損失並不完全是您的收益——獎勵方程中的一大塊價值流向場上其他玩家。這是ICM的本質。

為什麼增加行動可能降低期望值

ICM打破納什均衡的另一種方式是，給予玩家更多行動（例如更多下注或加注大小）可能實際上降低該玩家的$EV！這聽起來似乎不可能。畢竟，如果我們添加了無利可圖的行動，該玩家可以簡單地不使用這些行動。那麼，給予某人更多策略機會怎麼可能降低他們的收益？

為了揭開這個謎團，我求助於GTO Wizard的優秀日本科學家Wataru，他是開源WASM求解器（solver）的創建者。我請他製作一些玩具遊戲（toy games）來幫助我理解這個概念。

根本原因再次歸結於洩漏（leakage）。簡而言之，通過為我們的GTO策略添加更多行動，我們可能迫使GTO對手更積極地回應，從而增加洩漏。隨著您添加更多下注大小，您為求解器提供了更多將資金投入底池的方式，可能增加雙方玩家的總體積極性。

通過為我們的GTO策略添加更多行動，您可能無意中迫使對手更積極地回應，從而增加洩漏。

負和玩具遊戲

為了更好地理解這個概念，讓我們檢視一個負和玩具遊戲（negative-sum toy game）。這裡，每個玩家有行動A0、A1、A2、A3、A…，表示他們的策略有多積極。

更積極的策略對（strategy pair）的納什均衡具有更大的“期望值洩漏”，因此雙方玩家的期望值降低。讓我們將收益矩陣表示如下：

請注意，每個高亮的對角線格子都是一個納什均衡！雙方玩家都沒有改變策略的動機。

被動（均衡）策略對

在最佳情況下，A0/A0，雙方玩家收益為0。這代表一個被動策略對（soft-playing）。雙方玩家不會從對方搶走太多籌碼，因此洩漏的資金較少。

積極（均衡）策略對

現在檢視更積極的策略對A3/A3。雙方玩家損失-3。他們更容易互相淘汰，因此向場上其他玩家洩漏$EV。然而，雙方玩家都不想改變策略。如果您試圖對一個積極的對手（aggro opponent）軟玩（A0），您最終會得到更差的收益-6，而不是-3。在這個玩具遊戲中，您有動機匹配對手的積極性。

真實的錦標賽權益（tournament equities）顯然遠比這個簡單的玩具遊戲複雜。然而，這個負和玩具遊戲展示了幾個關鍵概念：

• 可以存在多個納什均衡。

• 每個納什均衡可以有不同的期望值（EV）。

• 最低期望值不再有保證。

• 對手的錯誤可能迫使您進入更差的均衡（想像在泡沫階段遇到一個瘋狂玩家，maniac）。

範例

您在一場衛星賽的決賽桌上，前兩名獲得獎金，剩餘三名玩家，每人25大盲籌碼。按鈕位開牌，小盲棄牌，您在大盲跟注。牌面為Q♥6♠2♠ 9♥ A♥，行動為檢查-下注-跟注（XBC），雙方檢查（XX）。在A♥河牌上輪到您行動。您需要決定是否探針下注（probe-bet）或檢查。

讓我們比較兩種可能的大盲首次行動河牌策略（BB first in river strategies）：

• 策略1 – 總是檢查

• 策略2 – 大盲可以選擇檢查、探針下注25%、100%或全壓357%

  • 無論哪種情況，如果您檢查，位置內（IP）可以下注40%或全壓。

首先，讓我們將這兩種策略並排放置比較：

大盲首次行動河牌節點比較：策略

現在讓我們看看期望值：

大盲首次行動河牌節點比較：期望

讓我理清一下。我們給大盲增加了三個探針下注選項，他們的籌碼縮放錦標賽權益（Chip-Scaled Tournament Equity, CSTE）從1.78下降到1.72？

或許更直觀的方式是以實際美元顯示期望值。如果每個獲勝名次價值5000美元，$EV將如下：

請注意，大盲損失了7美元。這在籌碼期望值（Chip EV）場景中永遠不會發生。給大盲更多策略選項永遠不會降低他們的期望值。然而，這在ICM場景中可能發生。

原因在於當您查看雙方玩家的$EV總和時變得更清晰。按鈕位對探針下注策略也損失了更多資金。這裡發生的事情是，當我們添加探針下注（probe-bets）時，我們迫使雙方玩家進入一個新的均衡（可以說，更接近真實行動空間）。這個新均衡更積極，增加了對已棄牌小盲的洩漏。

絕對清楚的是，探針下注本身並非無利可圖。如果是，求解器（solver）不會使用它。這裡的根本問題是，探針下注的威脅迫使按鈕位更積極地行動，這意味著大盲也必須更積極地行動，增加洩漏。

相反，當大盲被迫檢查時，他們檢查得更強，意味著按鈕位更多檢查回來（checks behind）。但當大盲有機會領先下注（donk-bet）時，按鈕位面對檢查必須更頻繁下注，否則有被剝削的風險。

探針下注的威脅迫使按鈕位更積極地行動，這意味著大盲也必須更積極地行動，增加洩漏。

讓我們通過添加另一個策略對來測試這個假設：這次，按鈕位和大盲同意在河牌檢查到底（check down）。

這是目前最佳的策略對。請注意與負和玩具遊戲的相似之處。在這個場景中，更被動的策略對具有更高的總體收益。允許非位置（OOP）越積極，位置內（IP）必須越積極回應，導致雙方玩家向已棄牌的小盲洩漏更多$EV。

在真實錦標賽中，您沒有這個選擇。軟玩（soft-playing）因充分理由違反規則。上述範例僅作為警告，幫助您理解/導航ICM策略以及因添加或移除下注機會而可能出現的均衡變化。

總結

很可能，您們大多數人沒有閱讀整篇文章。但如果您讀了，恭喜！對於那些略讀的讀者，我們將在下面提供一個總結。

ICM由於洩漏（leakage）影響納什均衡的動態。在單挑籌碼期望值（Chip EV）場景中，對手的損失完全等於您的收益。然而，在錦標賽中，情況並非如此。由於ICM，場上剩餘玩家在您淘汰一名玩家時也可以獲得價值。

首先，我們更詳細地探討了洩漏的關鍵概念。

洩漏：主要要點

• 在撲克錦標賽中贏得底池時，部分價值因ICM流向場上其他玩家，這稱為“洩漏”（leakage）。

• 洩漏意味著單挑底池中的$EV總和不再恆定。更積極的策略對（strategy pairs）傾向於向場上其他玩家洩漏$EV。更被動的策略對傾向於洩漏較少$EV。

• 洩漏可以通過兩種方式發生：

  • 向場上洩漏$EV（我稱之為“洩漏”）

  • 從場上其他玩家吸取$EV（我稱之為“吸取”，drainage）。

• 當籌碼接近平均時，您從場上其他玩家吸取金錢。當籌碼偏離平均時，您向場上其他玩家捐贈金錢。

接下來，我們展示了博弈論最優（GTO）策略如何在對抗錯誤時損失金錢，以及對剝削性策略的影響。

ICM中的GTO與剝削：主要要點

• 儘管在ICM場景中剝削（exploits）變得更有價值，但ICM中的GTO策略對於識別剝削性機會至關重要。

• GTO可能在對抗錯誤時損失$EV。然而，錯誤無法在GTO策略下獲得$EV。

• 調整積極性可能將GTO玩家的部分$EV轉移給場上其他玩家，或反之亦然。但同樣，您無法在GTO策略下提高自己的收益。

• 一般來說，在ICM場景中剝削變得更有價值。傾向於低變異剝削（low-variance exploits），例如對被認為是過度跟注者（calling station）玩過於價值為重（value-heavy）是安全的。但傾向於高變異剝削（high-variance exploits），例如對被認為是過度謹慎者（nit）過度詐唬（over-bluffing），則極其危險。

最後，我們展示了如何通過添加下注大小將玩家推入新的（可能更差的）均衡。

為什麼增加行動可能降低期望值：主要要點

• 您通常需要匹配對手的積極程度。

• 給予一名玩家更多下注大小可能無意中降低雙方玩家的$EV。

• 當您給予一名玩家更多下注大小時，通常會迫使對手相應更積極地回應，這可能增加洩漏。

致謝

我想特別感謝我們的兩位工程師：Philippe Beardsell（我們的首席引擎開發者）和Wataru Inariba（破解了新ICM公式的工程師），他們幫助我理解了非零和博弈中納什均衡的本質。在GTO Wizard，我們為雇用行業中最優秀的頭腦推動撲克理論前沿感到自豪。