底池幾何

Tombos21
7月13日
讀畢需時 5 分鐘

什麼是底池幾何？

“底池幾何”（Pot Geometry）指的是在每一街（street）下注底池的相同比例（fraction），以便在河牌（river）時全下（all-in）。這種下注策略也被稱為“幾何下注大小”（geometric bet size）或“底池的幾何增長”（geometric growth of the pot, GGOP）。

幾何下注有一個主要效果：這種策略最大化對手投入底池的資金。如果您想在河牌時將所有資金投入，則幾何下注將在理論上迫使對手進行最廣泛的防守（defence）。

在本文中，我們將探討底池幾何的理論，為什麼它會導致對手更廣泛地防守，通過範例進行說明，並討論這種下注策略的局限性。

最大化對手的防守範圍

為什麼幾何下注能最大化對手的跟注範圍？

假設您有兩個目標：

在河牌時將所有資金投入。
讓對手盡可能跟注更多手牌。

有無數種下注策略可以實現這一點。您可以先下大注，然後小注，再中注。或者連續兩次超額下注（overbet）。或者檢查->檢查->全下。但哪種下注策略能最有效地讓對手跟注最廣泛？當然是幾何下注大小！

在每一街下注底池的相同比例，將在理論上最大化對手的整體跟注範圍（calling range）以及平均投入底池的資金量。

但為什麼？

我們可以使用最低防守頻率（Minimum Defence Frequency, MDF）估計對手的防守範圍。將每一街的MDF相乘，得出最終的跟注範圍。

範例

底池為100美元
籌碼為1300美元
行動從翻牌（flop）開始

檢視兩種下注策略：

策略A）全下1300美元

對手跟注：1/(1+13) = 7%的範圍。
對手貢獻：7%的1300美元籌碼，總計91美元。

策略B）每街下注底池大小

對手跟注：50% * 50% * 50% = 12.5%的範圍。
對手貢獻：12.5%的1300美元籌碼，總計162.5美元。

策略B讓對手向底池貢獻幾乎兩倍的資金，這還不包括他們在早期街跟注並在攤牌（showdown）前棄牌的資金。如果考慮這些，則對手的總貢獻接近237美元。

多少街？

底池為6美元
籌碼為97美元

幾何下注大小是剩餘街數（下注次數）的函數。街數越少，為了在河牌時將資金投入，需要的下注大小越大：

計算幾何下注大小的通用公式如下：

然而，在比賽中計算這個有些過分。最好通過考慮河牌時的籌碼和底池大小來估計幾何下注大小。

下注平滑度

讓我們定義您的下注策略的“平滑度”（smoothness）為您在每一街下注大小（以底池百分比，pot%）的標準差（standard deviation）。

這裡我們創建了一個包含400種不同下注模式的試算表，所有這些模式都能在河牌時將資金投入。接下來，我們將繪製下注平滑度與總貢獻金額的圖表。從下面的圖表可以看出，下注策略越平滑，進入底池的資金越多。

垂直軸表示對手投入底池的資金量。水平軸表示我們翻牌/轉牌/河牌下注大小之間的標準差（分佈）。

對手的跟注範圍與我們下注的平滑度成正比。我們的下注模式越偏離幾何，對手需要跟注我們的次數就越少，以防止我們進行有利可圖的詐唬（bluff）。

這就是為什麼在更深的籌碼下全下（stack off）時範圍更緊（tighter）。堅果優勢（nut advantages）在全下範圍收緊時更有價值。

接下來，我們繪製了不同下注策略與對手投入底池資金量的圖表。請注意，當我們的翻牌/轉牌/河牌下注大小（以底池百分比計）相同時，對手向底池貢獻的資金最多。

探索數據

我們在這裡連結了試算表，您可以自行嘗試數據。您可以嘗試不同的籌碼和底池大小。

何時使用幾何下注

博弈論最優（Game Theory Optimal, GTO）策略通常在希望以重大堅果優勢（nut advantage）最大化價值時使用幾何下注大小。當您的範圍（range）是極化的（polarized）且對手的範圍是受限的（capped）時，這種策略效果最佳。

幾何下注策略源自最低防守頻率（MDF），這僅在極化對詐唬攔截牌（polarized vs bluff-catcher）的玩具遊戲（toy game）中真正成立。然而，當您有重大堅果優勢時，仍然應採用幾何下注。

最常見的例子之一是轉牌試探下注（turn probe bets）。

範例1：大盲試探對位置內單人底池（BB Probe vs IP SRP）

這裡我們看到在AK22r牌面上翻牌檢查通過（checks through）後的大盲對按鈕位（BTN）試探策略。底池為5.5BB，籌碼為97.5BB，剩餘兩街。這裡的幾何下注大小是252%底池。如您所見，GTO策略是採用幾何下注或完全不下注。

大盲在三條（trips）上有堅果優勢，因此他們盡可能壓制這一優勢，以在河牌時將籌碼投入。

範例2：位置內續注對大盲（IP C-Bet vs BB）

在翻牌（flop）上，我們看到類似的策略在位置內（in position）。這裡按鈕位在頂對（top pair）上有重大優勢，並使用三街的幾何下注大小來壓制：

非幾何策略

讓我們檢視我們的目標和假設：

目標

在河牌時將所有資金投入。
讓對手盡可能跟注更多手牌。

假設

我們的對手將根據最低防守頻率（MDF）防守。
我們的堅果牌（nutted hands）到河牌仍將是堅果牌（這是一個隱藏假設）。

這些目標和假設不一定正確。幾何下注策略是為完美極化（perfectly polarized）的情況設計的，但在實踐中很少如此。

完美極化的範圍僅包含無懈可擊的堅果牌和純粹詐唬（相對於對手的範圍）。權益（equity）是靜態的（無法改善或惡化）。但實際撲克充滿聽牌（draws），權益並非靜態的。大多數手牌到河牌時可能改善或惡化。

更重要的是，您很少有足夠的堅果牌來實施這種策略。大多數中等手牌（medium hands）無法在不過度發揮其價值的情況下爭奪全部籌碼（play for stacks）。

GTO策略在大多數情況下是非幾何的（non-geometric）。GTO在轉牌（turn）前很少使用幾何策略，因為範圍太接近且權益太動態（dynamic）。權益在後續街逐漸明朗（crystalize），範圍變得更極化（polar），這時才鼓勵使用幾何下注大小。當權益在早期街更接近且更容易變化時，情況並非如此。

結論

幾何下注旨在在河牌時將所有資金投入，同時最大化對手需要防守的範圍。

這種下注模式源自最低防守頻率（MDF），適用於極化對詐唬攔截牌的情況。然而，在現實世界中，由於範圍很少完美極化，這並不總是理想的。

幾何下注大小在您壓制明顯堅果優勢（nut advantage）並在靜態牌面（static textures）（您的堅果牌在河牌時可能仍為堅果牌）時最有用。這種策略在GTO中於後續街變得更常見，當範圍已經明朗時。