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PokerPly

如何解決玩具遊戲

  • 作家相片: Tombos21
    Tombos21
  • 2025年7月7日
  • 讀畢需時 7 分鐘

玩具遊戲（Toy games）是撲克的簡化版本，我們可以用它來更深入地理解博弈論（Game Theory）。


撲克是一款複雜的遊戲。無法在比賽中即時計算博弈論最優（Game Theory Optimal, GTO）策略。通過將其簡化為玩具遊戲，我們可以用手工解決，並學習博弈論最優撲克的基本動機。


本文僅是一個介紹，將涵蓋一些入門基礎知識。學習這些遊戲不會讓您成為下一個Linus，但它們將通過幫助您更有效地理解和解讀求解器（solvers），間接提升您的撲克能力。


本文將介紹兩種極化對詐唬攔截牌（polarized vs bluffcatcher）的玩具遊戲版本，作為解決玩具遊戲的入門。


基礎知識


要理解玩具遊戲，您需要學習一些基本功能，例如底池賠率（pot odds）、最低防守頻率（MDF），以及如何設置期望值（Expected Value, EV）計算。

  • MDF告訴我們防守者需要多頻繁跟注（call）以使我們的詐唬（bluffs）無差別（indifferent）。

  • 底池賠率告訴我們防守者需要多少權益（equity）來跟注，並指導我們的詐唬/價值比率（bluff/value ratio）。

  • S = Bet / Pot


如果您不知道如何計算這些，請查看以下文章！

  • 最低防守頻率（MDF）

  • 底池賠率（Pot Odds）

  • 期望值（EV）


這裡有一個方便的速查表，您可以用來快速計算一切！


極化對詐唬攔截牌


極化對詐唬攔截牌（polarized vs bluffcatcher）的玩具遊戲是一個玩家要么持有絕對堅果牌（stone cold nuts），要么是完全的詐唬，而另一個玩家持有詐唬攔截牌（bluff-catcher）的場景。

  • 玩家1（先行動）：持有AA或QQ，各50%頻率。

  • 玩家2：持有KK

  • 牌面：22233

  • 底池為10，雙方籌碼為10。任一玩家可全下（shove）或檢查（check）



這有時被稱為“透視遊戲”（clairvoyant game），因為玩家1總是知道自己是領先還是落後，而KK幾乎是明牌。


現在我們如何解決這個遊戲？讓我們將其分解為4個步驟：

  1. 排除被壓制策略（dominated strategies） - 用邏輯找出“純粹行動”（pure actions）。

  2. 使用底池賠率計算詐唬與價值比率（bluff to value ratio）。

  3. 使用MDF計算防守者應跟注的頻率。

  4. 為了全面起見，泛化方程式。


步驟1）從排除被壓制策略開始！


如果我們檢查，KK總會檢查回來（check behind）。KK下注沒有意義，因為這只會迫使QQ棄牌並被AA跟注。KK應簡單檢查回來，對QQ贏得底池而不冒任何風險。因此，AA應始終下注！


慢玩堅果牌（slowplaying the nuts）如果對手不下注就沒有意義。


步驟2）計算詐唬與價值比率


我們知道AA應始終下注。我們應該多頻繁詐唬？如果我們詐唬太多，KK可以通過總是跟注來剝削（exploit）我們。詐唬太少，他們可以通過總是棄牌來剝削我們。因此，最優策略是以一種使KK在跟注和棄牌之間“無差別”（indifferent）的方式下注。


查看提供的底池賠率。這是一個底池大小的下注（pot-sized bet），因此對手需要33%的權益來跟注。


Required equity = (call amount) / (pot after they call) = 1/3


因此，我們的下注範圍應有三分之一是詐唬。如果我們總是用AA下注，那麼我們需要通過用QQ詐唬一半的時間來平衡。這樣，我們提供了對手跟注所需的精確2:1賠率，他們無法剝削我們。


您需要足夠頻繁地詐唬，讓他們回報您的價值下注（value bets），但不能太多，以免他們可以有利可圖地跟注您。


步驟3）計算KK應跟注的頻率


如果KK棄牌太多，我們可以通過總是詐唬來剝削他們。如果KK棄牌不夠，我們可以通過從不詐唬並僅用價值下注壓制他們來剝削。因此，他們的最佳策略是跟注足夠頻繁，使我們的詐唬在下注和檢查之間無差別！


這就是MDF發揮作用的地方。他們跟注的頻率是我們下注大小的函數。


MDF = pot / (bet + pot) = ½


因此，KK應正好跟注一半的時間。他們應在跟注和棄牌之間隨機化（randomize），以避免被剝削！


您需要足夠頻繁地跟注，以防止他們用詐唬碾壓您，同時足夠頻繁地棄牌，以避免被價值下注壓制。


讓我們總結一下。AA總是下注。QQ一半時間下注，一半時間檢查。KK一半時間跟注，一半時間棄牌，並在被檢查時總是檢查回來。


步驟4）泛化！


如果下注大小不同會怎樣？如果我們範圍中有更多價值或更多詐唬呢？對於這個玩具遊戲，通用解決方案是下注大小的函數。


令‘s’ = bet/pot

  • 總是用AA下注

  • 用QQ詐唬足夠頻繁以給他們精確的底池賠率

  • 根據MDF跟注KK


用s重寫MDF：KK call% = 1/(1+s)

用s重寫底池賠率：Required equity = s/(2s+1)


KK面對下注的權益可以寫為下注範圍中的詐唬百分比。將其設為等於所需權益，使KK無差別！


Bluffs / (Value + Bluffs) = s/(2s+1)


泛化玩具遊戲總是一個好主意！


測驗


  • 底池 = 10，下注 = 7

  • 玩家1持有：5組AA，6組QQ

  • 玩家2持有：KK


在查看解答之前，花點時間自己嘗試計算！

答案

主導策略（Dominant strategies）：AA應始終下注（bet），KK如果被允許應始終檢查（check）。


s = bet/pot = 7/10

我們下注70%的底池。讓我們將0.7代入方程式！


MDF = 1/(1+s) = 1/1.7 = 58.8%

KK應在面對下注時跟注（call）58.8%的時間，以使詐唬（bluffs）無差別（indifferent）。


Bluffs / (Value + Bluffs) = s/(2s+1)


讓我們將5代入價值（value），0.7代入s：

Bluffs / (5 + Bluffs) = 0.7/2.4


重新整理並求解：

Bluffs = 0.29 x (5 + Bluffs)

Bluffs = 1.45 + 0.29 Bluffs

Bluffs = 2.058


我們應從6組QQ組合中詐唬2.059組。因此，QQ應大約三分之一的時間詐唬。


極化對詐唬攔截牌（帶誘捕牌）



您已經知道如何計算基本的極化對詐唬攔截牌玩具遊戲。如果防守者有誘捕牌（traps）會發生什麼？


設置


對手在河牌（river）檢查給我們，牌面是22233。我們知道對手的範圍是90%詐唬攔截牌（bluff-catchers），10%擊敗我們價值下注的誘捕牌。我們在位置（in position），有50%的價值手牌（value hands），50%純粹詐唬（pure bluffs）。


對手（非位置，out of position）：90% QQ，10% AA

英雄（位置內，in position）：50% KK，50% JJ

牌面：22233

您可以隨意選擇下注大小！

對手只能跟注（call）或棄牌（fold）。


如果對手沒有任何誘捕牌，我們可以全下（shove）以給他們最差的賠率，賺取最多的錢！然而，在這個玩具遊戲中，我們的價值手牌可能被誘捕牌擊敗。如果我們下注太大，我們會捐太多錢給他們的誘捕牌。如果我們下注太小，我們從他們的詐唬攔截牌中提取的價值不夠。


我愛這個玩具遊戲的原因是它展示了一個下注大小理論（bet sizing theory）的基本原則：

最優下注大小是堅果優勢（nut advantage）的函數。


如何找到“完美”的下注大小？


解決玩具遊戲


令‘s’ = bet/pot

令‘t’ = 對手範圍中誘捕牌的百分比（traps%）

令‘q’ = 英雄價值手牌被跟注時的權益

令‘c’ = 對手跟注的百分比


步驟1）計算他們跟注的範圍


當我們下注時，他們應根據MDF防守。然而，他們的誘捕牌永遠不會棄牌，因此我們需要稍作修改。

Calling% (c) = Max ( MDF, traps%) = Max (1/(1+s), 10%)


換句話說，他們根據MDF防守，但他們的跟注頻率永遠不會低於範圍中誘捕牌的百分比（在此範例中為10%）。


因為他們根據MDF防守，我們的詐唬總是0期望值（EV）。


步驟2）計算我們價值手牌被跟注時的權益


記住，我們的價值手牌會輸給誘捕牌，因此我們需要計算價值手牌被跟注時的權益，然後創建一個期望值方程式。


我們被跟注時的權益是下注大小的函數。我們下注越大，詐唬攔截牌棄牌越多，他們跟注範圍中的誘捕牌比例越高。因此，我們價值手牌的權益（q）等於對手跟注的詐唬攔截牌與誘捕牌的比例。

Equity when called = bluffcatcher% in calling range = (call% – trap%) / call%

q = ((c-t) / c)


步驟3）計算您的期望值


我們需要找出一個表示我們下注時期望值的方程式。最優下注大小將最大化我們的期望值！


我們的詐唬期望值為0，因為對手根據MDF跟注（雖然如果我們下注太大可能為負，但讓我們忽略這一點）。由於詐唬的期望值為0，我們可以跳過這部分，因為加0不會改變任何東西。


這僅留下我們價值手牌的期望值。

EV (value bet) = call%(EV when called) + fold%(pot)

EV (value bet) = call%(win% (pot + bet) – (lose% bet)) + fold%*pot


這有點繁瑣，所以讓我們用變量替換：

  • Bet% = s

  • Pot = 1（我們已將底池標準化，因為s = bet/pot）

  • Call% = c

  • Win和lose% = q 和 (1-q) 分別。

EV (value bet) = c(q(1+s) – s(1-q)) + (1-c)


我們可以進一步替換q，但除非您想解析解決，否則這不是必需的。

EV (value bet) = 1+s(c-2t) – t


步驟4）根據下注大小繪製期望值圖表


找到最優下注大小的最簡單方法是將期望值與下注大小繪製成圖表，然後選擇圖表上的最高點！


試試這個圖表！我創建了一個簡單的計算器，您可以用來繪製不同誘捕牌數量值的期望值。只需拖動t滑塊。


繪製這個函數顯示，如果對手有10%的誘捕牌，那麼我們的最優下注大小是123%底池。雖然實際上，100%-150%之間的任何下注大小給我們的期望值幾乎相同。


有些人可能想要一個解析解。要解決這個問題，您需要使用微積分。更具體地說，您需要找到最大化EV（value bet）的argmax‘s’。微積分超出了本視頻的範圍，我認為簡單繪製期望值圖表更容易。但為了完整性：


進一步閱讀

學習玩具遊戲既有趣又能提供博弈論的深入知識，這些知識可以轉化為更好的遊戲表現。我們今天僅觸及了表面。


查看以下書籍以了解更多關於如何解決玩具遊戲的內容：

  • 《Expert Heads Up No Limit Hold’em, Volumes 1 & 2》作者：Will Tipton

  • 《Play Optimal Poker, Volumes 1 & 2》作者：Andrew Brokos

  • 《Modern Poker Theory》作者：Michael Acevedo

  • 《Mathematics of Poker》作者：Chen & Ankenman

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