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PokerPly

平分牌面的荒誕博弈論

在撲克中，“平分牌面”（chopped board）是指公共牌構成兩位玩家範圍（ranges）中大多數手牌的最佳五張牌組合的情況。這通常被稱為“玩牌面”（playing the board）。平分牌面導致了引人入勝、常常違反直覺的策略。本文將深入探討平分牌面的荒誕數學。


在開始之前，請觀看Qing Yang的這段視頻，了解更多關於“玩牌面”理論的內容。


案例1）所有手牌平分


平分牌面最明顯的例子是像AKQJT彩虹（rainbow）或AAAAK這樣的牌面。任何玩家能形成的最強手牌已經在牌面上。因此，任何不涉及棄牌（folding）的策略都應該是好的。然而，如果這是一場現金遊戲（cash game）且涉及抽水（rake），會發生什麼？


100大盲（bb）小盲（SB）對大盲（BB）單人加注底池（single-raised pot）。他們到達河牌（river），底池有12大盲，有效籌碼後面94大盲。牌面是A♠ K♥ Q♦ J♣ T♠。每手牌都是順子（straight），且每手牌都平分（chops）。


在NL50現金遊戲中，小盲的最佳策略是什麼？在NL500現金遊戲中呢？

  • NL50抽水結構：5%抽水，4大盲上限

  • NL500抽水結構：5%抽水，0.6大盲上限


在NL50例子中，我們的任何下注（bet）都會被跟注（called），導致兩位玩家支付更多抽水。因此，最佳策略是範圍檢查（check-range）並嘗試在不向莊家（house）捐更多錢的情況下攤牌（showdown）。


然而，在NL500例子中，我們已經達到了抽水上限（0.6大盲上限 / 5% = 12大盲最大抽水底池）。因此，我們下注不會支付額外的罰款。此外，下注允許大盲犯錯（棄牌，folding），因此下注弱主導檢查（weakly dominates checking）。因此，小盲全下（shoves）其整個範圍！


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囚徒困境


好吧，如果我們支付更多抽水或下注更大，會發生什麼？是否可以利用抽水對抗對手，迫使他們棄牌？令人驚訝的是，答案是肯定的！


《每日一劑GTO #305》探討了這個玩具遊戲（toy game）的奇特變體。如果上述NL50場景是一個跛入底池（limped pot）並檢查到河牌，最佳策略竟然是將99大盲全下到2大盲的底池中，這是一個4950%底池大小的全下（pot-sized shove）。


這個全下迫使大盲棄掉所有牌。如果大盲跟注，他們贏得一半底池（1大盲），但支付2大盲的抽水。因此，最高期望值（EV）的決定是放棄底池！


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第一個全下的玩家應該贏得底池。滑稽的是，在真實遊戲中，大盲的最佳策略是搶先在小盲行動前非輪次全下（shove out-of-turn order）！但假設您在線上遊戲，無法這樣做。


面對這個全下，棄牌是最佳策略嗎？大盲可以“惡意跟注”（spite call），迫使雙方支付2大盲的抽水。這就是囚徒困境（Prisoner’s Dilemma）出現的地方。大盲是否應該偶爾惡意跟注以阻止小盲欺凌他們？


下表顯示了所有策略對的期望值（payoff table）。請注意，由於抽水，任何涉及雙方全下的策略都會導致負回報。理想情況下，雙方都檢查到底池（check down the pot）。然而，一方可以試圖迫使另一方棄牌以獲得優勢。這是囚徒困境的定義，但在此場景中，位置內玩家（IP player）知道對手的行動。


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1981年，Robert Axelrod舉辦了一場比賽，尋找重複囚徒困境遊戲（Repeated Prisoner’s Dilemma）的最佳策略。結果顯示，一個名為“以牙還牙”（Tit For Tat）的簡單策略最強。這個策略從合作開始，如果對手背叛則報復。它報復很快，但也很快原諒。然而，這個策略是為重複遊戲設計的。在撲克中，平分場景發生得如此罕見，人類的短期記憶掩蓋了“惡意跟注”或設置報復威脅的意義。


案例2）部分手牌平分


案例2是這個遊戲更有趣的版本。在這種場景中，一些手牌平分，但其他手牌能擊敗平分。例如，AKQJT牌面但可能有同花（flushes）。


讓我們從一個簡單的玩具遊戲開始。有三類手牌：誘捕牌（Traps）、價值手牌（Value Hands）和平分牌（Chops）。反派（Villain）檢查一組平分牌和少量堅果誘捕牌（nutted traps）。英雄（Hero）有擊敗平分牌但輸給誘捕牌的價值手牌。


Traps > Value > Chops

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在這個玩具遊戲的原始版本中，英雄需要找到最佳下注大小（bet size）以從詐唬攔截牌（bluff-catchers）中提取最大價值，同時不向反派的誘捕牌捐太多。然而，在這個遊戲中，沒有詐唬或詐唬攔截牌。所有平分牌彼此平分底池。這種動態改變了一切。


詐唬頻率


在“典型”的極化對詐唬攔截牌玩具遊戲中，您需要的詐唬數量由給出的底池賠率（pot odds）決定。如果您過度詐唬（over-bluff），反派可以通過總是跟注獲得期望值（EV）；如果您低詐唬（under-bluffing），他們可以通過棄掉所有詐唬攔截牌剝削您。


目標 – 使反派的平分牌在跟注和棄牌之間無差別（indifferent）。


在平分牌面上，您的目標相同，使他們在跟注和棄牌之間無差別。然而，在這種情況下，跟注的獎勵（reward）小得多。當他們正確跟注時，他們只贏得一半底池（相比典型詐唬攔截場景中贏得整個底池加上您的下注）。這意味著跟注的獎勵是固定的，但跟注的風險（risk）仍隨下注大小縮放。


下圖顯示了在平分牌面上與典型極化場景相比，您應該多頻繁地詐唬。

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請注意，與傳統極化場景相比，詐唬頻率（bluffing frequency）急劇上升。在傳統極化場景中，您的每價值下注（value bet）的詐唬數量等於Alpha方程，s / (s+1)，其中‘s’是下注/底池（bet/pot）。在平分牌面上，您的每價值下注的詐唬數量等於2s，是下注大小的兩倍。主要結論是，在平分牌面上，您應該比極化場景更頻繁地用價值手牌詐唬。


跟注頻率


反派應該多頻繁地跟注下注？這是一個出乎意料複雜的問題。我們知道，如果我們下注太大，反派會棄掉除誘捕牌（traps）外的所有牌。但較小的下注大小更難計算。要解決這個問題，我們首先需要問MDF和Alpha等方程試圖計算什麼。防守玩家的目標是使我們的平分牌在詐唬和檢查回來（checking behind）之間無差別。


目標 – 使英雄的平分牌在詐唬和檢查之間無差別。


為此，我們將每個行動的期望值（EV）設為相等，然後求解跟注頻率（calling frequency）。


EV (Check Chop) = EV (Bluff Chop)


以下解釋了如何推導平分牌面上的防守頻率：

檢查回來（checking behind）平分牌（chop）的期望值（EV）是反派（villain）範圍中誘捕牌（traps）比例的函數。


EV (Check Chop) = (1 – traps%) * pot / 2


詐唬（bluffing）平分牌的期望值更為複雜。期望值是我們被跟注（called）時的權益（equity）以及反派棄牌（folds）的頻率的函數，這兩者都取決於我們的投注大小（bet size）。


讓我們先用文字寫出公式：

EV (Bluff Chop) = (Fold% × pot) + Call% {(How often we get called by chop × 0.5 pot) – (How often we get called by trap × bet size)}


定義變量

  • 跟注百分比（Call%） = c

  • 棄牌百分比（Fold%） = 1 – c

  • 反派範圍中的誘捕牌比例（Traps% in villain’s range） = t

  • 下注/底池（Bet / Pot） = s

  • 跟注範圍中的誘捕牌比例（Traps% in calling range） = t/c

  • 跟注範圍中的非誘捕牌比例（Non-traps% in calling range） = 1-t/c


代入變量並簡化：

EV (Bluff Chop) = (1 – c) + c ( (1 – t/c) / 2 – st/c)


將檢查平分牌的期望值（EV (Check Chop)）等於詐唬平分牌的期望值（EV (Bluff Chop)），並求解c：

(1-t)/2 = 1-c + c((1-t/c)/2 – st/c)

c = 1 – 2st


反派永遠不會棄掉誘捕牌，無論我們下注多大，因此實際的MDF公式變為：

Call% = Max (t, 1 – 2st)


與“典型”極化對詐唬攔截牌玩具遊戲中的曲線MDF不同，在平分牌面上，MDF是一條相對於範圍中誘捕牌數量向下傾斜的直線。如果您下注足夠大，他們只需防守誘捕牌，導致防守頻率變平並保持不變。


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按下注大小的期望值曲線


這些期望值圖表顯示了英雄的總期望值（以底池百分比計），根據他們的下注大小。為簡單起見，我們假設反派只能跟注或棄牌。在典型的極化對詐唬攔截牌玩具遊戲中，最高期望值的下注大小取決於反派有多少誘捕牌。我們在《如何解決玩具遊戲》文章中討論了這一點。


在沒有誘捕牌的場景中，英雄的最優河牌策略是全下（或在早期街以幾何下注，geometric bet，在河牌全下）。如果反派有誘捕牌，英雄應下注較小，以避免防守範圍過強。以下圖表假設英雄開始時有50%的價值手牌和50%的詐唬（然後根據下注大小選擇最優詐唬或放棄）。


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在我們的平分玩具遊戲場景中，情況有所不同。下注的期望值在英雄用完詐唬時達到一個“拐點”（inflection point）。從那時起，加大下注只會降低價值下注的期望值。


英雄應為每個價值下注有X%的詐唬，其中X等於下注大小的兩倍。例如，當下注150%底池大小時，英雄應為每個價值下注詐唬3個平分牌，以使反派對其“平分攔截牌”（chop-catchers）在跟注和棄牌之間無差別。


下圖顯示了英雄按下注大小的期望值。這裡我們假設英雄開始時有25%的價值手牌和75%的平分牌。在s = 150%時，我們用完了詐唬，因此這設定了理論最大下注大小。然而，如果反派至少有我們價值下注一半的誘捕牌，則最優下注大小可能變小，如下圖紅線所示，反派範圍中有20%的誘捕牌。


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結論


上面的玩具遊戲相對簡單。擁有誘捕牌的玩家被動化（pacified），且沒有手牌相互阻斷（block）。在真實遊戲中，涉及的變量遠更多。玩家可以加注和再加注。有時您可能擁有的唯一堅果手牌（nutted hands）會阻斷對手擁有這些手牌。


然而，我們仍能從這個平分牌面玩具遊戲中學到幾個關鍵要點：

  • 在範圍中大部分為平分牌的牌面上更頻繁地詐唬。

  • 您常常會用完詐唬，因此應在這些牌面上範圍下注（range-bet）。

  • 通常這意味著您也應在這些牌面上更廣泛地跟注。

  • 您應整體防守多廣取決於您有多少誘捕牌（traps）。

  • 注意抽水結構（rake structure）。如果您無法讓他們棄牌，則不值得無端增加底池並支付更多抽水。

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