撲克中的數學誤解

Tombos21
7月7日
讀畢需時 5 分鐘

底池賠率（Pot Odds）和最低防守頻率（Minimum Defense Frequency, MDF）是撲克中的基礎數學公式。本文將從一些常見定義和速查表開始，然後解釋這些常見定義如何導致對博弈論最優（Game Theory Optimal, GTO）撲克的誤解。

速查表

注意 - Alpha/MDF僅在進行首次下注時正確。

這些是什麼意思？

過於簡化的定義

底池賠率（Pot Odds）：您需要多少權益（equity）來跟注（call）。
最低防守頻率（MDF）：您需要多廣泛防守。
Alpha：您的詐唬（bluffs）需要多頻繁成功。
價值/詐唬百分比（Value/Bluff %）：如何構建您的下注範圍（betting range）。

這些實際上是什麼意思 - 誤解

底池賠率（Pot Odds）

不是：您需要多少權益來跟注。

實際上是：您需要贏得底池的多少百分比來跟注。權益不等於價值！

例如，如果您的對手在10bb的底池中下注5bb，您必須贏得新底池20bb的至少25%（即5bb）來證明跟注的合理性。

求解器（solvers）經常棄掉（fold）具有足夠原始權益（raw equity）的手牌，並跟注沒有足夠權益的手牌。這是因為標準權益計算假設底池檢查到底（checked down），忽略了權益實現（equity realization）、位置（position）、隱含賠率（implied odds）、範圍優勢（range advantage）以及其他影響手牌實際價值的翻牌後因素（postflop factors）。

最低防守頻率（MDF）

不是：您需要多廣泛防守。

實際上是：您需要多廣泛防守以使對手的0%權益詐唬期望值（EV）為0。這個指標僅作為防止他人用詐唬碾壓您的指南。如果他們明顯低詐唬（under-bluffing），您無需遵循MDF。

此外，如果他們的詐唬在檢查回來（checking back）時有價值，您無需如此廣泛防守以使他們在下注（betting）和檢查之間無差別（indifferent）。如果他們的潛在詐唬作為檢查回來價值2EV，而您過度防守（overcalling）使詐唬為0EV，那麼對手可以簡單地停止詐唬。

Alpha

不是：您的詐唬需要多頻繁成功。

實際上是：您的0%權益詐唬需要多頻繁成功。實際上，河牌（river）前的幾乎所有牌都有一些權益。這也沒有考慮您可以多街詐唬的事實。

價值/詐唬百分比（Value/Bluff %）

不是：如何構建您的下注範圍。

這個比率僅在河牌且假設您的所有價值手牌（value hands）是堅果牌（nuts），您的詐唬毫無價值時才正確。價值/詐唬比率在多街變得更複雜。一個非常基本的指南是使用⅓ ½ ⅔規則——您在翻牌（flop）需要大約⅓價值，在轉牌（turn）需要½價值，在河牌需要⅔價值。然而，這取決於下注大小（bet sizing）和極化程度（polarity）等因素。請查看原始GTO計算器（caveman GTO calculator）以了解更多。

其次，由於阻斷效應（blocker effects）和/或抽水（rake），通常建議比這個圖表顯示的略偏重價值（value heavy）。

公式

Pot Odds = call / (pot size after you call)

Alpha = risk / (risk + reward

)其中風險（risk）和回報（reward）分別是您在詐唬時冒險的金額和詐唬成功時獲得的金額。

Minimum Defense Frequency = 1 – alpha

當面對下注（非加注）時：MDF = 1 / (1 + bet%)

Bluff% = pot odds laid，您需要如此頻繁地詐唬以使對手在河牌無差別。

Value% = 1 – bluff%

範例1 - 進行下注

英雄（Hero）在河牌下注5到10（半底池，half-pot）。

底池賠率：對手（Villain）需要跟注5，跟注後底池將是20。

Required equity to call = 5 / (5 + 5 + 10) = 5/20 = 25%。

對手應跟注任何在攤牌（showdown）時贏得超過¼次的手牌。

Alpha：英雄冒險5以贏得10。

a = 5 / (5 + 10) = 33%。對手需要至少棄牌（fold）⅓的時間，以使0%權益的詐唬盈虧平衡。

MDF = 1 / (1 + ½ ) = 66%。對手應至少防守⅔的範圍以使詐唬無差別。

價值/詐唬比率：英雄應以75%價值和25%詐唬的範圍下注，以使對手的詐唬攔截牌（bluff-catchers）在跟注和棄牌之間無差別。

範例2 - 面對加注

英雄在河牌下注5到10（半底池），對手加注（half-pot）到15：

底池賠率：英雄需要再跟注10，跟注後底池將是40。

Required equity to call = (15-5) / (10 + 15 + 15) = 10/40 = 25%。

英雄應跟注任何在攤牌時贏得超過¼次的手牌。

Alpha：對手冒險15以贏得15。

a = 15 / (15 + 15) = 50%。英雄需要至少棄牌½的時間，以使對手的0%權益詐唬盈虧平衡。

MDF = 1 – alpha = 50%。英雄應至少防守½的範圍以使對手的詐唬無差別。

價值/詐唬比率：對手應以75%價值和25%詐唬的範圍下注，以使英雄的詐唬攔截牌在跟注和棄牌之間無差別。

請注意，即使在這兩個例子中下注大小都是50%底池，Alpha/MDF並未保持相同。這是因為半底池下注的風險回報比率與半底池加注不同！在範例1中，我們冒險5以贏得10；在範例2中，他們冒險15以贏得15。

試算表計算器

這裡有一個免費工具，您可以用來計算MDF/底池賠率、Alpha、幾何大小（geometric sizes）、每街的價值/詐唬比率等！

博弈論與實踐中的應用

以下圖表顯示這些變量如何隨著下注大小的變化而互動。有趣的是，它們在黃金比例（Golden Ratio）處相交，這是一個在自然界中常見的數學常數。

底池賠率是最具理論根據的指標

我們可以在翻牌前到轉牌（preflop-turn）找到許多場景，求解器會棄掉具有足夠權益的手牌，或跟注沒有足夠權益的手牌。然而，如果我們看底池份額（pot share，即手牌考慮所有翻牌後變量後實際預期贏得的底池百分比），底池賠率始終是一個正確的指標。

即使在實踐中，即使對抗弱手範圍（fishy ranges），只要您看的是底池的真實價值（true value），而不是原始檢查到底的權益（raw checked-down equity），底池賠率始終是理論上正確的指標。

如果您面對一個底池大小的下注（pot-sized bet），您需要平均贏得至少⅓的底池來有利可圖地跟注。就是這麼簡單。

MDF與Alpha

MDF和Alpha因為經常被誤用而名聲不佳……這些更像是理想化的玩具遊戲（toy game）指標，而非撲克的硬性法則。MDF和Alpha基於無權益的詐唬；它們的設計是使詐唬的期望值為0。這在現實中很少見。

最多，您只需要使對手的詐唬在檢查（checking）和下注（betting）之間無差別。如果詐唬檢查回來有1bb的價值，而您過度防守（overdefend）使這些詐唬為0EV，那麼對手可以簡單地停止詐唬。為什麼他們要選擇較低的期望值行動？

許多新手玩家使用這些指標來證明糟糕的跟注或詐唬。請始終記住，MDF是一個防止對手過度詐唬（overbluffing）的盾牌。如果他們明顯從不過度詐唬，放下您的盾牌，停止跟注詐唬攔截牌（bluff-catchers）！

一般來說，求解器在位置（in position）時的防守更接近MDF，在非位置（out of position）時始終過度棄牌（overfold）。這是因為在位置檢查回來（checking back）的弱手牌更有價值。記住，您不需要給他們一個0EV的詐唬，最多只需使他們的詐唬在檢查和下注之間無差別！

GTO Wizard提供無與倫比的數據分析。讓我們比較大盲（BB）相對於按鈕位（BTN）續注（cbet）時的棄牌頻率與MDF建議的棄牌頻率。我繪製了複雜解決方案（complex solution）中20%到200%的每個續注大小，涵蓋所有1755個策略上不同的翻牌面（flops）。

如您所見，大盲相對於每個大小始終過度棄牌（相較於MDF）。