撲克中的期望值是什麼？

期望值（Expected Value, EV）是撲克中最基本的指標。您做出的每一個決定都以一個共同目標為基礎——最大化回報。為了實現這一點，您需要權衡您採取的每一個行動的長期盈利能力。

期望值是您預期在長期內通過某個特定玩法贏得或輸掉的金額。

期望值從何而來？

假設您玩了一個遊戲，每手牌所有人都檢查到底（checked down）。顯然，沒有人會有優勢，因為權益（equity）是均勻分配的。要獲得收益，您需要贏得超出您公平份額的籌碼。

那麼，期望值從何而來？在其最純粹的形式中，期望值來自於比您的對手更有效地組織您的權益。這意味著將正確類型的手牌放入您的下注（betting）/檢查（checking）路線，懂得如何利用下注大小（sizing），知道哪些手牌的盈利能力足以繼續，以及哪些手牌應該放棄。

在撲克中贏得籌碼只有兩種方式：在攤牌（showdown）時贏得底池，或讓其他所有人棄牌（fold）。因此，大多數抬頭顯示器（HUDs）會將您的結果圖表分為紅藍兩條線，分別表示攤牌贏得/輸掉的籌碼和非攤牌贏得/輸掉的籌碼。由此可知，期望值有兩種類型：

• 攤牌期望值（Showdown EV） - 在攤牌時贏得/輸掉的籌碼

• 棄牌期望值（Fold EV） - 通過棄牌或讓對手棄牌贏得/輸掉的籌碼

棄牌期望值：拒絕權益與迫使更差手牌棄牌

棄牌期望值的一個最基本方面是：您無法從迫使完全無勝率的手牌棄牌中獲利。您從迫使那些可能擊敗您的手牌棄牌中獲利。

如果您在河牌擁有堅果牌（nuts），您只能通過讓更差的手牌投入資金來獲得期望值。這是獲得“攤牌期望值”的最簡單例子。讓更差的手牌棄牌並不會帶來任何收益（您只是將“攤牌期望值”轉移到“棄牌期望值”）。唯一從迫使對手的0%勝率手牌棄牌中獲利的情況是，這些手牌可能在後續讓您棄掉您的權益（bluffed you off your equity）。

假設您在轉牌（turn）下注頂雙（top-two），對手棄掉同花聽牌（flush draw）。您從迫使可能超車（outdraw）的更差手牌棄牌中獲得期望值，但當更差的手牌跟注（call）您時，您也獲得期望值。拒絕可能超車的更差手牌的權益可以視為一種棄牌權益（fold equity）。

通常您希望更差的手牌跟注您。但如果這些更差的手牌對您的手牌有高隱含賠率（implied odds），實際上讓它們棄牌可能更可取。這涉及到過度實現您的權益（over-realizing your equity）的概念。

薄阻斷下注範例

假設您在非位置（out of position）持有第二對（2nd pair），在河牌進行阻斷下注（block-bet）。有時您會被更好的手牌跟注，有時被更差的手牌跟注，有時會被加注（raised），您也會迫使一些您原本能擊敗的手牌棄牌。讓更差的手牌棄牌有沒有帶來收益？

答案可能是肯定的。那些棄牌的更差手牌如果您檢查（check），可能會通過詐唬（bluff）讓您棄掉您的對子。這種阻斷下注甚至可能具有負的攤牌期望值，但仍然是最佳玩法。這就是為什麼您有時會看到求解器（solvers）在非位置用價值手牌（value hands）進行阻斷下注，即使這些手牌被跟注時的權益低於50%。

期望值的相對性

關於期望值最常見的誤解之一是“棄牌總是0期望值”。然而，這僅在您選擇將棄牌定義為0時才成立。您也可以將期望值測量為相對於手牌開始時籌碼的差額。這種觀點同樣有效。

假設您三倍下注（3bet）到11bb，然後面臨25bb的四倍下注（4bet）。如果您棄牌，您就輸掉了11bb。如果您這樣做100次，您將輸掉1100bb！那麼，如果棄牌總是0期望值，這怎麼可能？

從面對四倍下注的決策角度來看，您最初的11bb加注是沉沒成本（sunk cost），棄牌可以視為0期望值。從您起始籌碼的角度來看，棄牌輸掉了11bb。兩種觀點都有效。您最終只是在比較不同策略選擇的期望值。

重要的是要認識到，期望值總是相對於某個基準進行測量的。如果您將棄牌定義為0期望值，那麼跟注的期望值是相對於棄牌的期望值。

這裡有一個例子。您在大盲（BB）以AQs三倍下注，面對來自按鈕位（BTN）的25bb四倍下注。您有三個選擇：棄牌、跟注或全下（shove）。如果您在GTO Wizard中查看這些選項的期望值，您會看到類似以下的結果：

從面對四倍下注的決策測量：棄牌是0bb，跟注是4.02bb，全下是2.58bb。這些數字可能具有誤導性，讓人覺得跟注和全下都是“有利可圖的”。

如果您相對於回合開始時的籌碼測量期望值：

棄牌是-11bb，跟注是-6.98bb（比棄牌好4.02bb），全下是-8.42bb（比棄牌好2.58bb）。

無論您如何看待，跟注是最佳選擇，確切比棄牌好4.02bb。但您需要認識到，您是在三個輸錢的行動中選擇，試圖找到損失最少的那個！認識到這個概念對於將期望值放入正確的背景非常重要。這種邊緣的“試圖損失最少”的情況在撲克中經常發生。

期望值的測量單位

測量期望值的方式有很多種。最常見的方式是以“大盲”（big blinds, bb）為單位。然而，您也可以用籌碼（chips）或底池份額（pot share）來測量。例如，如果您預期贏得3bb，而底池是5bb，您可以說您有60%的期望值（以底池份額測量，與測量權益的方式相同）。這種測量方式的一個結果是您可能有超過100%的期望值。這僅表示您預期長期內贏得底池並額外獲得一些收益。

以百分比測量您的期望值有助於將事情放在正確的視角。例如，2bb多嗎？如果底池是1000bb，這是非常邊緣的，但如果底池是5bb，則是顯著的。

錦標賽玩家必須額外進行一步，將他們的期望值轉化為錦標賽價值，使用如ICM、DCM或FGS等方法。我們將在後續文章中討論將籌碼期望值（chip-EV）轉化為錦標賽期望值（tournament-EV）的複雜性。

期望值的定義

期望值是一個涵蓋所有未來行動的加權平均數。最簡單的定義如下：

EV = (Outcome1 probability x Outcome1 payoff) + (Outcome2 probability x Outcome2 payoff) + (Outcome3 probability x Outcome3 payoff)…

盒子方法：

1. 列出所有可能的結果。（製作盒子）

2. 找出每個結果的概率和回報。（填充盒子）

3. 將所有內容放入一個方程式並計算。（解決盒子）

計算範例

範例1：

讓我們從一個簡單的例子開始。假設您面對一個底池大小的全下（pot-sized shove），您有25%的權益（equity）。如果您跟注，有兩個可能的結果，您贏或輸（不考慮平局）。如果您贏，您將獲得底池和對手的下注。如果您輸，您將失去一個底池大小的下注…

• 贏：25% (+2 pot)

• 輸：75% (-1 pot)

EV = (25% x 2) + (75% x -1) = -0.25 pot

顯然，這不是一個好的跟注，因為您平均會失去底池的25%。

範例2：

現在假設您的對手全下半個底池（half-pot），您有35%的權益。您冒險半個底池的風險去贏得1.5個底池（對手的半底池下注 + 底池）。

EV = (35% x 1.5) – (65% x 0.5) = +0.2 pot，平均贏得底池的20%。

範例3：

讓我們再複雜一點。我們有機會在河牌用頂對（top pair）下注底池（10bb），但我們的對手可能會全下，迫使我們棄牌。

• 檢查回來的權益：70%

• 被跟注時的權益：55%

• 對手會全下（我們將棄牌）的概率：20%

• 對手會棄牌的概率：50%

• 對手會跟注的概率：30%

價值下注（value betting）是否太薄？

• 下注且被跟注的回報 = (55% 20bb) + (45% -10bb) = +6.5bb

• 對手棄牌的回報 = +10bb

• 對手加注的回報 = -10bb

EV bet = (fold% x 10bb) + (call% x 6.5bb) + (raise% x -10bb)

EV bet = (50% x 10bb) + (30% x 6.5bb) + (20% x -10bb) = +4.95bb

太好了，下注是正期望值（+EV）！這意味著我們應該下注，對吧？不。您需要權衡您的選項。

檢查回來有70%的權益，這意味著我們贏得底池的70%（7bb）。

• EV (bet) = +4.95bb

• EV (check) +7.00bb

下注損失了2.05bb的價值，因為我們經常會被詐唬棄掉我們的權益，迫使更差的手牌棄牌，並被更好的手牌跟注。檢查顯然是最佳選擇！

完整的圖表如下：

從期望值推導其他撲克指標

您聽過的每個撲克指標都可以從期望值方程式中推導出來！

讓我們從底池賠率（pot odds）開始。底池賠率指的是您需要多少權益來跟注一個下注。例如，假設非位置（OOP）在河牌下注半個底池。位置內（IP）需要多少權益才能跟注？

經典的解決方法是使用簡單方程式：

Required equity = (call) / (pot after you call)

對於半底池下注：0.5 / 2 = 25%；位置內需要至少25%的權益來跟注這個下注。換句話說，位置內需要收回至少與他們投入底池的金額等值的資金。

然而，這也可以使用期望值來計算。這種方法的好處是它允許您計算的不僅僅是盈虧平衡點。您可以確切地看到，給定某個下注大小和一定量的權益，您會贏得或失去多少。

EV = (Win% x $Won) – (Lose% x $Lost)

• $Won = 1.5（底池加上對手的半底池下注）

• $Lost = 0.5（跟注的金額）

• Win% = EQ

• Lose% = 1-EQ

EV = (EQ x 1.5) – ((1-EQ) x 0.5)

我們可以通過設置期望值為0來找到盈虧平衡點：

• 0 = (EQ x 1.5) – ((1 – EQ) x 0.5)

• 1.5 EQ = 0.5 (1 – EQ

• )3 EQ = 1 – EQ

• 4EQ = 1

• EQ = ¼

• EQ = 25%

換句話說，您需要25%的權益來達到盈虧平衡。

Alpha - 指的是對手需要多頻繁棄牌才能讓您用0%權益的詐唬（bluff）達到盈虧平衡。經典方程式如下：

risk/(risk+reward)

其中風險（risk）是詐唬的金額，回報（reward）是對手棄牌時您贏得的底池。對於半底池詐唬，風險是0.5，回報是1。0.5 / (0.5 + 1) = 33.3%

但如果他們棄牌更多或更少呢？詐唬的盈利能力如何？我們可以使用期望值方程式來找出答案！

EV = (pot x fold%) – (bet x call%)

現在讓我們用期望值推導alpha：

設置期望值為0以找到盈虧平衡點：

0 = (1 x fold%) – (0.5 x call%)

0 = fold% – (0.5 (1 – fold%))

fold% = (1 – fold%) / 2

2fold% = 1 – fold%

3 fold% = 1

fold% = ⅓ = 33%

非位置最低防守頻率（OOP MDF）：指的是非位置必須跟注的百分比，以防止位置內用0%權益的手牌進行有利可圖的詐唬。我們不會詳細推導，因為這僅等於1-alpha，我們已經在上面計算過。

MDF = pot/(pot+call)

MDF = 1 / (1 + 0.5) = 66.6%

或者簡單地說，1-alpha。

結論

評估一手牌的價值是一門細膩、複雜的藝術，可能需要一生來掌握。期望值是您在撲克中做出的每一個決定的關鍵指標。

這是否意味著您需要在牌桌上進行複雜的數學計算？當然不是，撲克在實踐中更憑直覺。但您需要了解期望值如何運作，以便正確思考您的決定、理解求解器（solvers），或進行正確的離桌分析。在離桌時分析不同場景會讓您更好地感知什麼是好的策略，什麼不是。