撲克組合數學入門指南
- Tombos21
- 7月13日
- 讀畢需時 5 分鐘
組合數學（Combinatorics）是一個用來評估任何特定手牌可能“組合”（combos）數量的專業術語：特定等級和花色的兩張牌的組合。它讓我們能夠回答諸如在特定情況下可以持有多少不同版本的AK、哪些手牌更適合作為詐唬攔截牌（bluff-catchers）等問題。
組合計數基礎
手牌矩陣（The Hand Matrix）
在德州撲克（Texas Hold’Em）中有1326種可能的起始手牌組合。它們通常以一個常被稱為手牌矩陣（hand matrix）的網格表示。
僅看手牌矩陣，很容易誤以為口袋對（pocket pairs）佔可能手牌的13/169，同花（suited）和非同花（offsuit）手牌各佔78/169。通過查看網格並對應每個手牌類別的方格進行求和，我們會得出上述答案。然而，這假設所有方格彼此相等。雖然在幾何上確實如此，但在組合數學上並非如此。
實際上：
每個口袋對有6種組合：
A♠A♥, A♠A♦, A♠A♣, A♥A♦, A♥A♣, A♦A♣
每種同花手牌有4種組合：
A♠K♠, A♥K♥, A♦K♦, A♣K♣
每種非同花、非對子手牌有12種組合：
A♠K♥, A♠K♦, A♠K♣, A♥K♠, A♥K♦, A♥K♣, A♦K♠, A♦K♥, A♦K♣, A♣K♠, A♣K♥, A♣K♦
這得出結論：有78個口袋對（6種組合 × 13個方格）、312個同花手牌（4種組合 × 78個方格）和936個非同花、非對子手牌（12種組合 × 78個方格）。
想在實際遊戲中練習組合計數嗎？GTO Wizard的遊戲模式（Play Mode）讓您通過玩手牌並在之後審查範圍（ranges）來測試您的理解，提供了一個實用的方式來強化這些概念。
牌面矩陣（The Card Matrix）
死牌（Dead Cards）
上述比例適用於翻牌前（preflop），但在存在“死牌”（dead cards）時會失效。死牌指的是已知不在玩家手中的牌。最常見的例子是當翻牌（flop）發出時。翻牌上的牌是死牌，因為任何玩家都不可能持有它們。
計數組合的最簡單方法是將未見牌的數量相乘。讓我們通過一些例子來熟悉：
按鈕位（BTN）開牌，大盲（BB）跟注，翻牌是AK2：
按鈕位有多少種AQ的組合？
請注意，其中3/12是AQs，9/12是AQo。
同花：A♦Q♦, A♥Q♥, A♣Q♣, A♠Q♠
非同花：A♦Q♥, A♦Q♣, A♦Q♠, A♥Q♦, A♥Q♣, A♥Q♠, A♣Q♦, A♣Q♥, A♣Q♠, A♠Q♦, A♠Q♣, A♠Q♥
按鈕位有多少種AA的組合？
口袋對使用略不同的公式。我們從AA的6種組合開始。如果翻牌是A♠K♥2♦，A♠不再在我們的範圍中。我們的AA組合從6減少到3：沒有A♠A♥, A♠A♦, A♠A♣, 有A♥A♦, A♥A♣, A♦A♣。
我們可以使用以下公式計算口袋對的可用組合數：
其中a = 口袋對等級的可用牌數量。在此場景中，我們輸入a = 3，因為有3張可用的A（A♥, A♦和A♣）。(3 * (3-1))/2 = 3種AA的組合。
另一種說法是“3選2”。
按鈕位有多少種AKs的組合？
同花手牌可以直觀計數，不需要公式。在A♠K♥2♦牌面上，AKs的可用組合數從4減少到2，因為牌面上的A♠和K♥：A♠K♠, A♥K♥, A♦K♦, A♣K♣。
我們可以使用以下公式計算AK的總組合數：
其中a = 一張牌等級的可用牌數，b = 另一張牌等級的可用牌數。
在A♠K♥2♦牌面上，有3張可用的A（A♥, A♦, A♣）和3張可用的K（K♥, K♦, K♣）。因此我們輸入a = 3，b = 3，得出結果為9。知道其中2種是同花組合，剩餘7種是AKo的組合。
其他牌移除範例
當公開信息使某些手牌不可能持有時，存在死牌。然而，還存在其他更微妙的牌移除形式。一個重要的形式是阻斷牌（blockers）。這是當一名玩家利用他們手牌或私人死牌提供的私人信息，通過組合數學縮窄對手的範圍。
簡單阻斷牌範例
阻斷牌（Blockers）是撲克策略中至關重要的一部分，可能決定邊緣決策的成敗。通過從玩家的範圍中排除特定組合，您可以改變他們的行動頻率（action frequencies）和價值與詐唬比率（value to bluff ratios）。
讓我們檢查一個簡單的例子，展示如何利用這個效應：
[6人現金遊戲，500NL，100BB]
按鈕位開牌到2.5BB，大盲防守。大盲檢查-跟注（check-calls）33%翻牌續注（c-bet），125%轉牌續注，並在J♠5♥2♠K♦8♠牌面上面對85%的河牌續注。以下哪些手牌可以有利可圖地跟注？
A) K♠9♥
B) K♥9♠
C) K♣T♣
D) A♥5♦
答案
A) K♠9♥
大盲需要至少31.5%的權益（equity）來有利可圖地跟注（計算您的底池賠率，pot odds）。通過“阻斷”價值手牌（value hands），K♠9♥比其他答案對按鈕位的範圍有更多權益，可以進行這個跟注。按鈕位在這個河牌價值下注（value bets）兩對及以上，並以A高及以下詐唬（bluffs），因此所有列出的手牌都是詐唬攔截牌（bluff-catchers）。對手範圍中的價值與詐唬比率根據我們持有的牌而變化！
大盲僅在持有K♠9♥時對按鈕位的範圍有超過31.5%的權益，使其成為唯一有利可圖（+EV）的跟注。
策略頻率與實際頻率
儘管阻斷牌改變了範圍行動頻率（range action frequencies），求解器（solvers）（包括GTO Wizard）不會在它們的策略頻率（strategic frequencies）中顯示這種效應的影響。這導致策略頻率與實際頻率（actual frequencies）之間的差異。這在同花牌面（flush boards）上表現得尤為明顯：
[6人現金遊戲，500NL，200BB]
中間位置（HJ）開牌到2.5BB，大盲防守。大盲檢查-跟注130%的續注，轉牌檢查通過（checks through），並在Q♠J♠4♥7♦2♠牌面上對61%的河牌下注檢查-全下（check-shoves）（407%）。
儘管策略頻率窗口聲稱中間位置跟注19.8%的時間（總共5.51組合中的1.07組合），實際上他們只跟注13.8%（總共3.78組合中的0.52組合）。
19.8%的頻率包括“幽靈”組合（ghost combos）：由於對手的阻斷牌而無法存在的組合。
大盲僅全下包含A♠的手牌，然而，中間位置的19.8%跟注頻率包括許多A♠手牌。移除這些後，跟注頻率變為13.8%。
這並不意味著策略不正確。期望值（EV）計算考慮了這種效應。這只是解讀和顯示數據的問題。我們是想檢查策略頻率還是實際頻率？一些求解器有開關，允許您在這兩個視圖之間切換。
牌堆積（Card Bunching）
我們將檢查的最後一個牌移除效應是牌堆積（card bunching）。玩家在翻牌前傾向於更頻繁地棄掉低牌（low cards）而非高牌（high cards）。因此，當許多玩家已經棄牌時，剩餘玩家和牌庫偏向高牌。
在3人桌上，按鈕位首先行動，他們範圍中的每組組合可能性相等。在6人桌上，當幾個玩家已經棄牌時，情況並非如此。這種牌移除影響了所有待行動玩家的範圍和策略、頻率以及牌面出現概率（runout probabilities）。
這意味著當輪到按鈕位行動時，他們更可能持有高牌。這可能改變按鈕位的實際開牌頻率（actual opening frequency），即使他們不改變策略開牌頻率（strategic opening frequency）。
讓我們可視化這個效應。以下動畫顯示在幾個玩家棄牌後，牌庫中從2到A的牌密度。請記住，他們更可能棄掉低牌，因此牌庫中剩餘的牌（以及尚未行動的玩家範圍）更偏向高牌（top-heavy）。
一般來說，由於牌堆積導致的牌移除影響不大，儘管這取決於具體場景。作為一篇入門文章，我們不會詳細涵蓋這個效應。如果您想了解更多關於牌堆積效應的內容，請查看HRC的這篇文章。
結論
德州撲克有1326種可能的起始手牌組合，包括78個口袋對（pocket pairs）、312個同花手牌（suited hands）和936個非同花、非對子手牌（unpaired, offsuit hands）。其中一些組合可能被牌面或玩家的手牌和範圍阻斷（blocked），進一步減少可用組合數。制定策略時應考慮並優化這一點。
有三個關鍵的牌移除效應：死牌（dead cards）、阻斷牌（blockers）和牌堆積（card bunching）；每個都有其獨特屬性。
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如果從本文中您能學到一件事，那就是不要太線性地思考您的手牌，而要更多地考慮您面對的範圍，以及這如何影響您使用阻斷牌的方式。祝您在牌桌上好運！
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