無差別的三定律

撲克中的無差別（indifference）是其中最被誤解的概念之一。“無差別”一詞意味著兩個或更多行動具有相同的價值。因此，理解無差別在博弈論最優（Game Theory Optimal, GTO）撲克中扮演如此重要角色的原因，對學習撲克理論至關重要。

解讀GTO解決方案往往更像是藝術而非科學。這通常是一個主觀過程，需要直覺與科學分析的結合。博弈論最優撲克中有許多經驗法則和啟發式方法，但硬性定律很少。因此，學習無差別的絕對硬性定律，以區分事實與虛構，至關重要。

本文將概述構成納什均衡（Nash Equilibrium）的少數基本“硬性定律”。這些定律適用於GTO以及所有撲克策略，包括剝削性（exploitative）風格。

無差別的三定律

自私期望值定律（The Law of Selfish EV）

沒有任何手牌會犧牲價值來提升範圍其餘部分的價值。一個完美的策略總是在每個位置用每手牌選擇最高的期望值（EV）行動。

想想看。您為什麼要故意玩一個虧損的行動？為什麼不總是選擇最佳行動？這應是不證自明的。沒有所謂玩一個負期望值（-EV）行動來提升範圍其餘部分期望值的東西。如果一手牌是虧損的跟注（call），那麼跟注並虧錢就沒有意義。

定律1的結果是定律2：自私期望值定律暗示無差別定律（The Law of Indifference）。

無差別定律（The Law of Indifference）

如果一手牌混合多個行動，這些行動將具有相同的價值。例如，如果一手牌在跟注和棄牌（folds）之間混合，那麼跟注必須價值0EV。如果一手堅果牌（nutted hand）在跟注和加注（raising）之間混合，那麼誘捕（trapping）必須與快玩（fast-playing）價值相同。

相反，任何具有相同期望值行動的手牌必須在這些行動之間無差別。如果跟注價值3美元，加注價值3美元，那麼您必須在跟注和加注之間無差別。您為什麼要選擇較低的期望值行動？如果跟注比棄牌價值更高，那麼簡單永不棄牌。

讓我們看一個例子。首發位置（UTG）開牌，按鈕位（BTN）三倍下注（3bets）。行動輪到首發位置，持有KQs：

這裡我選擇了“策略+期望值”（Strategy+EV）視圖。我們可以看到KQs在四倍下注（4betting）或跟注時的期望值為0.31bb。我們可以看到它在兩個行動之間混合。因此，它在這兩個行動之間無差別。

我們看到許多無差別行動。A5s（期望值0）在棄牌、跟注和四倍下注之間無差別。QQ（期望值42.7）在全下（shoving）、四倍下注和跟注之間無差別。88（期望值0）在棄牌和跟注之間無差別。很少手牌採取純粹行動（pure actions）。策略以這種方式混合，以對所有可能的反制策略（counterstrategies）保持不可剝削（unexploitable）。

這個定律適用於任何策略。這適用於GTO策略、剝削性策略以及介於兩者之間的每種策略。如果您輸入對手的非完美且可剝削策略，那麼一些手牌不可避免地仍會面臨無差別決策。雖然剝削性模擬（exploitative simulations）傾向於導致更多純粹行動，因為對非完美策略的較少決策是完全無差別的。無差別不依賴GTO，它僅依賴對手的策略。

有時求解器建議負期望值行動。這是噪音（noise）的結果！如果您解決到足夠高的精確度，那噪音就會消失。真正的均衡永遠不會故意選擇較低的期望值行動。

定律2的結果是定律3：無差別定律暗示固定策略定律（The Law of Fixed Strategies）。

固定策略定律（The Law of Fixed Strategies）

改變無差別行動之間的混合不會對固定策略（fixed strategy）損失價值。只有當對手調整他們的策略時，混合錯誤（mixing mistakes）才能被剝削。

好吧，但什麼是混合錯誤，什麼是固定策略？

混合錯誤（mixing mistake）意味著在無差別決策（indifferent decisions）之間移動手牌。

固定策略（fixed strategy）（如博弈論最優，GTO）不會改變或適應對手。

好吧，但如果我的範圍在後續街改變，我的期望值不會改變嗎？

期望值（expected value）是零和（zero-sum）。一個玩家獲利，另一個必須虧損。因此，如果您在兩個具有相同期望值的決策之間錯誤混合（mixing incorrectly），在不改變對方策略的情況下，怎麼會有玩家獲利？您手牌的期望值涵蓋了後續街的決策。

這個規則的一個主要例外是當期望值不是零和時。抽水（rake）會削減您的期望值，因此混合錯誤可能增加或減少雙方支付的總抽水。

這樣想。您所做的只是將一手牌從兩個具有相同期望值的行動之間移動。您只是將一手牌從兩個無差別決策之間移動。由於這兩個行動對對手的策略有相同的價值，除非對手改變他們的策略，否則他們無法獲利！

例如，假設KK應跟注30%的時間，加注70%的時間以不可剝削。但相反，您選擇50%/50% - 這是一個混合錯誤。然而，這兩個行動有相同的期望值（定律2）。因此，如果對手不改變他們的策略，那麼跟注和加注之間的任何混合都會產生相同的回報！然而，這並不給您隨意行動的許可。您的新策略是可剝削的。如果對手調整，他們可以懲罰您的混合錯誤。

讓我們回到之前的例子。首發位置開牌，按鈕位三倍下注，輪到首發位置：

假設您棄掉每手以任何頻率棄牌的手牌。您的期望值會改變嗎？

不會。您所做的只是將更多0EV的手牌移到棄牌線而不是其他線。然而，按鈕位可以通過更廣泛地三倍下注來剝削您的過度棄牌。在此情況下，您會棄掉實際上是正期望值繼續的手牌，這會讓您損失價值。注意，按鈕位僅在改變他們的策略時才能從您的混合錯誤中獲利。

要理解這個概念，您需要認識一個關鍵細節：您手牌的最佳行動僅由對手的策略決定。您範圍中的無差別區域純粹是對手玩法（how your opponent plays）的函數。因此，他們需要改變策略來改變您範圍中哪些手牌/行動是無差別的。

GTO是一個固定策略。因此，它不會從混合錯誤中獲利。然而，它會從“純粹錯誤”（pure mistakes）中獲利。任何對固定策略損失金錢的行動都是“純粹錯誤”。有一個常見的誤解，認為GTO從“任何錯誤”中獲利。然而，這不是真的，因為GTO只能從純粹錯誤中獲利。別擔心，即使高水平職業玩家也會犯很多純粹錯誤；撲克很難！

常見問題

以下常見問題應涵蓋大多數關於GTO的基本話題。

元遊戲策略（metagame strategies）呢？

如果一個負期望值（-EV）的玩法能誘導對手在後續犯錯，則可以為其辯護。例如，進行一個負期望值的詐唬（bluff）以建立鬆散形象（loose image）可能是合理的，如果這會導致他人未來對您犯錯。但這在GTO中無效，因為GTO假設未來不會有錯誤。此外，您可以爭辯說，如果一個負期望值的“錯誤”從長期來看是最高期望值的行動，那麼它實際上不是錯誤，而是正確的剝削性（exploitative）策略，因此是正期望值（+EV）。將時間框架從一手牌重新定義為終身手牌，解決了負期望值元遊戲行動的悖論。

GTO會做出負期望值（-EV）的玩法嗎？

會！但僅當您的對手犯錯時。例如，GTO可能建議用KK四倍下注全下（4bet shoving）。即使對手僅用AA三倍下注（3betting），它也會這樣建議。這顯然是一個虧損的玩法。但您的對手因為不加注其他優質手牌（如KK、QQ等）而損失更多價值。任何人在遊戲樹的某一部分對抗GTO可能獲利，但這是以他們策略的其他部分為代價。

如果您確信對手僅用AA加注，那麼通過調整您的策略來剝削他們。但即使您不調整，他們仍然因為損失KK、QQ等的價值而犯純粹錯誤（pure mistakes）。

可以擊敗GTO嗎？

不行。納什均衡（Nash Equilibrium）的定義是，沒有玩家可以單方面改變策略來增加期望值。您可以通過犧牲其他路線的期望值來增加某些路線的期望值，但按定義無法擊敗GTO。

一個顯著的例外是，GTO在多人底池（multiway pots）中不保證不可剝削（unexploitability）。多人底池中沒有任何策略是不可剝削的。

為什麼求解器（solvers）會做出負期望值行動，或不選擇最高期望值的行動？

這是求解器噪音（solver noise）的結果。實際上，求解器無法達到完美精確度，這導致解決方案中的噪音。

什麼是混合錯誤與純粹錯誤？

混合錯誤（mixing mistake）（有時稱為頻率錯誤，frequency mistake）是在無差別行動（indifferent actions）中以不正確的頻率混合。例如，如果KK應跟注（call）30%並加注（raise）70%，但您分成50%/50%，這就是一個混合錯誤。它針對特定組合（unique combos）的行動，而不是您的整體策略。

純粹錯誤（pure mistakes）是對固定策略（fixed strategies）損失金錢的行動。混合錯誤僅在對手調整以剝削該錯誤時才損失金錢。

什麼是固定策略？

固定策略（fixed strategy）不因對手的行動而改變。固定策略在相同位置總是以相同方式遊戲。GTO是固定策略的一個例子。相反，動態策略（dynamic strategy）會適應並改變以應對對手。

如果混合錯誤不被懲罰，那為什麼我不能只是範圍下注/檢查一切？

混合錯誤是可剝削的（exploitable）。但這需要您的對手使用非GTO策略。這種偏離GTO的適應可以是有意的或僅是他們的自然玩法（playstyle）。小心不要以無差別混合錯誤為藉口過分簡化。

例如，在河牌（river）跟注所有無差別的詐唬攔截牌（bluff-catchers）容易被偏重價值的策略（value-heavy strategies）剝削。對翻牌檢查-加注（check-raise）過度棄牌（overfolding）混合棄牌容易被過度詐唬（over-bluffing）剝削。

如果GTO不從混合錯誤中獲利，那GTO如何賺錢？

GTO在您的對手犯“純粹錯誤”（pure mistakes）時獲利。純粹錯誤是對固定策略損失金錢的行動。純粹錯誤是用某手牌採取的任何行動，該行動對對手的當前策略嚴格損失期望值（EV）。